引言
高等数学作为理工科学生的重要基础课程，其难度和深度一直是学生关注的焦点。上海财经大学作为我国金融和财经领域的佼佼者，其高等数学教材在学术界和考研界都享有盛誉。本文将深入解析上海财经大学高等数学教材中的难题，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、教材概述
上海财经大学高等数学教材以同济大学《高等数学》为基础，结合财经专业特点进行了改编。教材内容涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计等基础课程，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、难题解析
1. 微积分
（1）极限与连续
难题示例：证明函数\(f(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}\)（\(x \neq 0\)，\(f(0)=0\)）在\(x=0\)处连续。
解析： 首先，根据连续的定义，我们需要证明\(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)。由于\(f(0)=0\)，我们只需证明\(\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0\)。
由于\(\left| \sin \frac{1}{x} \right| \leq 1\)，我们有： $\(\left| x^2 \sin \frac{1}{x} \right| \leq x^2\)$
当\(x \to 0\)时，\(x^2 \to 0\)，因此\(\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0\)。由此可得\(f(x)\)在\(x=0\)处连续。
（2）导数与微分
难题示例：求函数\(f(x)=e^{x^2}\)的导数。
解析： 根据链式法则，我们有： $\(f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x^2} = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx} x^2 = 2x e^{x^2}\)$
2. 线性代数
（1）矩阵运算
难题示例：求矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的逆矩阵。
解析： 首先，我们需要计算矩阵的行列式： $\(\text{det} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2\)$
由于行列式不为0，矩阵可逆。根据公式，我们有： $\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\)$
3. 概率论与数理统计
（1）随机变量
难题示例：已知随机变量\(X\)服从标准正态分布，求\(P(X \leq 1.96)\)。
解析： 根据标准正态分布表，我们可以查到\(P(Z \leq 1.96) = 0.975\)。由于\(X\)服从标准正态分布，我们有\(P(X \leq 1.96) = P(Z \leq 1.96) = 0.975\)。
三、总结
上海财经大学高等数学教材中的难题具有很高的挑战性，但通过深入解析和不断练习，学生可以掌握这些知识，提高自己的数学能力。希望本文对读者有所帮助。